คณิตศาสตร์

จำนวนจริง

จำนวน จริง คือ จำนวนที่สามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่งกับจุดบนเส้นตรงที่มีความยาวไม่สิ้นสุด (เส้นจำนวน) ได้ คำว่า จำนวนจริง นั้นบัญญัติขึ้นเพื่อแยกเซตนี้ออกจาก จำนวนจินตภาพ จำนวนจริงเป็นศูนย์กลางการศึกษาในสาขาคณิตวิเคราะห์จำนวนจริง

คุณสมบัติและการนำไปใช้
มีหลักเกณฑ์ในการแบ่งจำนวนจริงอยู่หลายเกณฑ์ เช่น จำนวนตรรกยะ หรือ จำนวนอตรรกยะ; จำนวนพีชคณิต (algebraic number) หรือ จำนวนอดิศัย; และ จำนวนบวก จำนวนลบ หรือ ศูนย์
จำนวนจริงแทนปริมาณที่ต่อเนื่องกัน โดยทฤษฎีอาจแทนได้ด้วยทศนิยมไม่รู้จบ และมักจะเขียนในรูปเช่น 324.823211247… จุดสามจุด ระบุว่ายังมีหลักต่อๆไปอีก ไม่ว่าจะยาวเพียงใดก็ตาม
การวัดในวิทยาศาสตร์กายภาพเกือบทั้งหมดจะเป็นการประมาณค่าสู่จำนวนจริง การเขียนในรูปทศนิยม (ซึ่งเป็นจำนวนตรรกยะที่สามารถเขียนเป็นอัตราส่วนที่มีตัวส่วนชัดเจน) ไม่เพียงแต่ทำให้กระชับ แต่ยังทำให้สามารถเข้าใจถึงจำนวนจริงที่แทนได้ในระดับหนึ่งอีกด้วย
จำนวนจริงจำนวนหนึ่งจะกล่าวได้ว่าเป็นจำนวนที่คำนวณได้ (computable) ถ้ามีขั้นตอนวิธีที่สามารถให้ได้ตัวเลขแทนออกมา เนื่องจากมีจำนวนขั้นตอนวิธีนับได้ (countably infinite) แต่มีจำนวนของจำนวนจริงนับไม่ได้ จำนวนจริงส่วนมากจึงไม่เป็นจำนวนที่คำนวณได้ กลุ่มลัทธิเค้าโครง (constructivists) ยอมรับการมีตัวตนของจำนวนที่คำนวณได้เท่านั้น เซตของจำนวนที่ให้นิยามได้นั้นใหญ่กว่า แต่ก็ยังนับได้
ส่วนมากคอมพิวเตอร์เพียงประมาณค่าของจำนวนจริงเท่านั้น โดยทั่วไปแล้ว คอมพิวเตอร์สามารถแทนค่าจำนวนตรรกยะเพียงกลุ่มหนึ่งได้อย่างแม่นยำโดยใช้ตัวเลขจุดลอยตัวหรือตัวเลขจุดตรึงจำนวนตรรกยะเหล่านี้ใช้เป็นค่าประมาณของจำนวนจริงข้างเคียงอื่นๆ เลขคณิตกำหนดความเที่ยงได้ (arbitrary-precision arithmetic) เป็นขั้นตอนในการแทนจำนวนตรรกยะโดยจำกัดเพียงหน่วยความจำที่มี แต่โดยทั่วไปจะใช้จำนวนของบิตความละเอียดคงที่กำหนดโดยขนาดของรีจิสเตอร์หน่วยประมวลผล (processor register) นอกเหนือจากจำนวนตรรกยะเหล่านี้ ระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์สามารถจัดการจำนวนอตรรกยะจำนวนมาก (นับได้) อย่างแม่นยำโดยบันทึกรูปแบบเชิงพีชคณิต (เช่น "sqrt(2)") แทนค่าประมาณตรรกยะ
นักคณิตศาสตร์ใช้สัญลักษณ์ R (หรือ  \Bbb{R}  - อักษร R ในแบบอักษร blackboard bold) แทนเซตของจำนวนจริง สัญกรณ์ Rn แทนปริภูมิ n มิติของจำนวนจริง เช่น สมาชิกตัวหนึ่งจาก R3 ประกอบด้วยจำนวนจริงสามจำนวนและระบุตำแหน่งบนปริภูมิสามมิติ

ความบริบูรณ์
เหตุผลหลักในการแนะนำจำนวนจริงก็เพราะว่าจำนวนจริงมีลิมิต พูดอย่างเป็นหลักการแล้ว จำนวนจริงมีความบริบูรณ์ (โดยนัยของ ปริภูมิอิงระยะทาง หรือ ปริภูมิเอกรูป ซึ่งต่างจากความบริบูรณ์เดเดคินท์เกี่ยวกับอันดับในส่วนที่แล้ว) มีความหมายดังต่อไปนี้
ลำดับ (xn) ของจำนวนจริงจะเรียกว่า ลำดับโคชี ถ้าสำหรับ ε > 0 ใดๆ มีจำนวนเต็ม N (อาจขึ้นอยู่กับ ε) ซึ่งระยะทาง |xn − xm| น้อยกว่า ε โดยที่ n และ m มากกว่า N และอาจกล่าวได้ว่าลำดับเป็นลำดับโคชีโคชีถ้าสมาชิก xn ของมันในที่สุดเข้าใกล้กันเพียงพอ
ลำดับ (xn) ลู่เข้าสู่ลิมิต x ถ้าสำหรับ ε > 0 ใดๆมีจำนวนเต็ม N (อาจขึ้นอยู่กับ ε) ซึ่งระยะทาง |xn − x| น้อยกว่า ε โดยที่ n มากกว่า N และอาจกล่าวได้ว่าลำดับมีลิมิต x ถ้าสมาชิกของมันในที่สุดเข้าใกล้ xเพียงพอ
เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าทุกลำดับลู่เข้า เป็นลำดับโคชี ข้อเท็จจริงที่สำคัญหนึ่งเกี่ยวกับจำนวนจริงคือบทกลับของมันก็เป็นจริงเช่น กัน :
ลำดับโคชีทุกลำดับของจำนวนจริงลู่เข้า
นั่นก็คือ จำนวนจริงนั้นบริบูรณ์
สังเกตว่าจำนวนตรรกยะนั้นไม่บริบูรณ์ เช่น ลำดับ (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) เป็นลำดับโคชีแต่ไม่ลู่เข้าสู่จำนวนตรรกยะจำนวนใดจำนวนหนึ่ง (ในทางกลับกัน ในระบบจำนวนจริง มันลู่เข้าสู่รากที่สองของ 2)
การมีอยู่ของลิมิตของลำดับโคชีทำให้แคลคูลัสใช้ การได้ รวมไปถึงการประยุกต์มากมายของมันด้วย การทดสอบเชิงตัวเลขมาตรฐานเพื่อระบุว่าลำดับนั้นมีลิมิตหรือไม่คือการทดสอบ ว่ามันเป็นลำดับโคชีหรือไม่ ถ้าเราไม่ทราบลิมิตเหล่านั้นล่วงหน้า
ตัวอย่างเช่น อนุกรมพื้นฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
\mathrm{e}^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
ลู่เข้าสู่จำนวนจริงจำนวนหนึ่งเพราะว่าสำหรับทุกค่าของ x ผลรวม
\sum_{n=N}^{M} \frac{x^n}{n!}
สามารถทำให้มีค่าน้อยลงเพียงพอโดยเลือก N ที่มีค่ามากเพียงพอ นี่พิสูจน์ว่าลำดับนี้เป็นลำดับโคชี ดังนั้นเรารู้ว่าลำดับลู่เข้าแม้กระทั่งเราไม่รู้ว่าลิมิตคืออะไร

ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น

สมัครสมาชิก: บทความ (Atom)